몬티 홀 문제 - 당신의 직관을 믿지 말라

 

 인간은 살면서 자신의 직관을 믿는 선택을 많이하게 됩니다. 오늘 점심은 어떤 메뉴를 먹을지, 여친이 삐진 이유가 무엇인지, 짜장면과 짬뽕 중 어떤 걸 먹을 건지, 17번 문제의 정답이 3번인지 4번인지 등등... 이런 동물적 본능과 직관이 의외로 잘 맞을거라 생각하시겠지만, 의외의 분야에서 의외로 쉬운 곳에서 이런 직관과 전혀 반대되는 결과가 나오는 경우가 있습니다. 여러분의 직관을 비웃는 문제, 오늘 소개할 몬티 홀 문제입니다.

 1. 어떤 문제인데?

 여러분은 지금 TV 퀴즈쇼의 마지막 문제에 도달했습니다. 문제는 아주 간단합니다. 세 개의 문 중에 하나만 당첨이고 나머지는 꽝이죠. 어떠한 정보도 없는 상황에서 여러분은 정답을 찾아야 됩니다. 하나의 문을 고르자, 정답을 알고있는 사회자가 제안을 합니다. "나머지 두 문 중 꽝이 어떤 것인지 보여줄 겁니다. 그리고 당신의 선택을 바꿀 기회를 드리죠." 여러분이 선택하지 않은 문 중 꽝인 문이 열리고, 여러분에겐 선택을 바꿀 기회가 있습니다. 자 그렇다면 선택을 바꾸는 것이 유리할까요? 바꾸지 않는 것이 유리할까요?

<당신의 선택은?>

 2. 50% 아니야?

 대부분의 사람들은 직관적으로 이렇게 생각합니다. "문이 열렸다고 해도, 어차피 2개의 문 중 정답을 하나 찾는 문제이다. 확률은 50%이므로 바꾸던 바꾸지 않던 변하는 것은 없다." 얼핏 보면 맞는 말 같기도 하고, 쉽게 설명되니까 당연하게 생각이 되죠. 그런데....

 3. 선택을 바꾸는 것이 확률이 높다.

 하지만 정답은 "선택을 바꾸는 것이 당첨 될 확률이 66%이므로 바꾸는 것이 좋다" 입니다. 머리로는 이해가 되지 않으시겠지만, 실제로 시뮬레이션을 돌려보면 바꾸는 선택이 당첨 확률이 더 높다는 것을 알 수 있습니다.

 이런 확률이 나오는 이유는 선행 사건에 의해서 후행 사건이 일어날 확률이 영향을 받는 종속사건이기 때문입니다. 확률론에서는 베이즈 정리라고 하는데, 여러분이 선택하는 문(선행 사건)에 따라서 사회자가 열어주는 문(후행 사건)이 달라지기 때문에 이런 수학적인 결론이 나오는 겁니다.

<시뮬레이션 결과를 보면 바꾸는 경우가 66% 가까이 되는걸 알 수 있습니다>

 4. 간단한 해설

 여러분이 선택을 바꾸지 않는다고 가정해봅시다. 그러면 당첨될 확률은 1/3인 33%입니다. 이 경우에는 사회자가 꽝을 보여주던 말던 상관이 없습니다. 처음부터 당첨을 고른 상태여야 하니까요. 이해가 되시리라 믿겠습니다.

 반면 선택을 바꾼다고 가정해봅시다. 이렇게 되면 여러분이 처음에 뽑은 선택이 꽝인 경우에 당첨입니다. 여러분이 꽝을 고른 상황이면, 나머지 2개 중 하나가 당첨이라는 것인데, 이 중에 하나가 꽝인 걸 알면, 다른 하나가 당첨이니까요. 그러면 여러분이 처음에 고른 꽝과, 정답만 남게되는 상황입니다. 이 상황이라면 선택을 바꾸는 것이 정답이 되는 것이죠.

 처음으로 돌아와보도록 하죠. 이 게임의 룰을 알고 있는 사람은, 무조건 선택을 바꾸기로 결정합니다. 그렇다면 그 사람은 3개의 문 중에 꽝을 고르면 됩니다. 처음에 꽝을 고르고 바꾸면 무조건 당첨이니까요. 3개의 문중에 2개의 꽝을 찾을 확률은 얼마나 되죠?

 5. 여담

 50%에 미련을 못 버리시는 분들을 위해 사족을 달아보자면, 이 문제에서 정답 확률을 50%로 바꾸는 법은 간단합니다. "사회자도 정답을 모르는 상황에서, 2개의 문 중 하나를 열어준다" 라고 조건을 살짝 바꿔주게 되면, 확률은 50%가 됩니다. 이런 경우에는 앞에서 설명한 선행 사건과 후행 사건의 관계가 사라지기 때문에, 사회자는 경우의 수 하나를 제거하는 역할만 하게 됩니다.

 이 문제와 해설이 칼럼으로 등재되자, 이 칼럼을 쓴 저자에게 엄청난 편지가 왔다고 합니다. 당연히 확률이 저렇게 나올리 없다는 항의의 편지가 대부분이였고, 그 중에서는 수학과 공학에서 박사학위를 받은 사람들도 포함이 되어있었다고 하네요. 직관에 오류에 빠지는 것은 전문가라고 예외는 아닌듯 합니다.